|
Меню сайта
Статистика
|
Задача на взвешиваниеЗадача на взвешиваниеВот одна из классических задач, решить которую можно сразу же, если выбрать систему счисления с подходящим основанием. Эта задача приведена в математической книге знаменитого математика XIII в. Леонардо Пизанского. Ею интересовался также в XVIII в. и Л. Эйлер. Требуется выбрать 5 гирь так, чтобы с их помощью можно было взвесить любой груз до 30 кГ при условии, что гири ставятся только на одну чашу весов. Какие же гири нужно выбрать? Сумма веса всех гирь должна быть не меньше 30 кГ. Но, конечно, этого недостаточно. Если мы выберем, например, гири весом в 1, 2, 3, 10, и 15 кГ, то с их помощью нельзя будет взвесить грузы в 7, 8, 9, 22, 23 и 24 кГ. Разберем математический смысл задачи. Чтобы взвесить некоторый груз, помещая гири только на одну чашу весов, надо представить его вес в виде суммы весов имеющихся гирь, причем так, чтобы каждая гиря бралась не более одного раза. Если выбранные нами гири имеют вес p1, р2, р3, р4, р5, то груз весом Q≤30 кГ должен представляться так: Q=a1p1+ а2p2+ а3р3 + а4p4 +a5p5, где каждый коэффициент равен единице, если кладем соответствующую гирю на чашу весов, и нулю, если не пользуемся ею при взвешивании. При такой постановке вопроса видно сходство с представлением числа Q в двоичной системе счисления. Нужно только в качестве p1, p2. p3, p4, p5 взять гири весом: р1=1 кГ, р2=2 кГ, p3=4 кГ, р4=8 кГ, р5=16 кГ. Сумма их веса 1 +2+4+8+16=31>30кГ. Кроме того, каждое число Q, не большее 31, можно представить в виде: Q = b424 + b323+ b222 + b12 + b0, где каждый из коэффициентов b0, b1 b2, b3, b4 будет, как нам и нужно, либо нулем, либо единицей. Пусть, например, надо взвесить груз в 22 кГ. Запишем число 22 по двоичной системе: 22 = 101102. Значит, нужно взять гири р2=2 кГ', р3= 4 кГ и р5=16 кГ. Теперь несколько видоизменим задачу: пусть требуется выбрать 4 гири, с помощью которых можно было бы взвесить любой груз до 40 кГ, при условии, что гири можно класть и на левую и на правую чашу весов. Нетрудно убедиться, что для решения этой задачи нужно воспользоваться троичной системой счисления, т. е. выбрать следующие 4 гири: р1 = 1 кГ, р2 = 3 кГ, р3 = 9 кГ, р4 = 27 кГ. Пусть, например, надо взвесить груз в 19 кГ. Число 19 представим в виде: 19 = 3•6 + 1 = 3•(3•2)+1=2•9+1=0•27+2•9+0•3+1=2013. Теперь груз в 19 кГ кладем на правую чашу весов. На левую кладем груз в 1 кГ. Затем надо было бы положить туда еще 2 гири по 9 кГ, но у нас имеется только одна такая гиря. Но 18=2•9 можно представить еще и иначе: 18=2•9=(3-1)•9=27-9, т. е. на левую чашу весов надо положить еще гирю в 27 кГ, на правую — в 9 кГ. Так же будем поступать и в других случаях. Если груз Q Ј 40 кГ, то его можно всегда представить в виде: Q = b333+ b232+b13+b0, где каждый из коэффициентов b0, b1, b2, b3 может равняться 0, 1 или 2. Если он равен О, то соответствующую гирю отставляем в сторону; если 1, то кладем ее на левую чашу весов; если 2, то поступаем так, как только что делали, т. е. кладем гирю на правую чашу весов, а следующую по величине гирю — на левую. Следует помнить, что, хотя в различных системах счисления числа записываются по-разному, основные свойства их от этого не меняются: так, число 20 будет делиться на 2, в какой бы системе мы его ни записали, а 27 не будет делиться на 2, но будет делиться на 3. Числа 3, 5, 7 останутся простыми в любых системах счисления. Однако признаки делимости, которые устанавливаются исходя из записи числа в определенной системе счисления, будут меняться вместе с основанием системы. Так, число делится на 5, если его запись по десятичной позиционной системе оканчивается нулем или пятеркой. Но число не всегда делится на 5, если на 0 оканчивается его запись в троичной системе, например числа 103 (т. е. 3), 1003 (т. е. 9), 10003 (т. е. 27) не делятся на 5, а число 1203 (т. е. 15) будет делиться на 5.
|
ПОИСК
Block title
|
