.
Меню сайта
|
Счет двойками, тройками и дюжинамиСчет двойками, тройками и дюжинамиОднако вовсе не обязательно считать десятками. Можно, например, вести счет двойками или тройками. Для этого за основание системы счисления примем число 2 или 3, а в остальном будем поступать точно так же, как это делали, когда основание равнялось десяти. Для записи по двоичной системе понадобятся всего две цифры: 0 и 1. Число «два» в этой системе запишется как 10, так как 2=1•2+0. А чтобы не спутать нашу запись с обычной, будем справа внизу ставить маленькую цифру 2— это будет означать, что основанием системы служит число «два». Итак, 102 будет записью числа 2. Число 3=1•2+1, поэтому его записью будет 112. Число 4 = 1•22+0•2+0•1, поэтому оно запишется в виде 1002. Записью числа 5 будет 1012, а числа 7 будет 1112. Чтобы найти запись любого числа N, нужно определить остатки от последовательного деления этого числа на 2. Мы предоставляем читателям проверить, что записью числа 35 в двоичной системе будет 100 0112. Если число N таково, что 2n≤N<2n+1, то его можно представить в виде: N=аn2n+аn-12n-1+...+а12+а0, т. е. запись этого числа в двоичной системе будет иметь вид: N=anan-1...a1a0, но здесь уже каждый из коэффициентов аi может принимать только два значения: 0 или 1. Более подробно о двоичной системе, которая сейчас приобрела большое значение в связи с ее применением в быстродействующих вычислительных машинах, узнаете, если прочтете статью «Электронные вычислительные машины», помещенную в этом томе. Для записи числа в троичной системе нужны три цифры, например 0, 1, 2. Число 3 здесь будет записываться как 103, а 4 — как 113. Записью числа 35 в той системе будет 10223. Приведем таблицы сложения и умножения чисел, записанных по троичной системе: См выше табл. умножения. Но можно считать и дюжинами, т. е. пользоваться системой счисления с основанием двенадцать. Еще не так давно в нашей стране и в Западной Европе некоторые предметы, например перья и карандаши, принято было считать дюжинами. Сервизы тоже обычно составляют из 12 чашек, 12 блюдец, 12 тарелок, а комплекты мебели — из 12 стульев или кресел. Существовало даже специальное название для дюжины дюжин — гросс. О широком распространении двенадцатеричной системы свидетельствуют такие факты: мы до сих пор делим год на 12 месяцев, а сутки на 24 часа, причем в повседневной жизни часы считаем только до 12, а затем начинаем счет сначала (час дня, два часа дня и т. д.). Число 12 часто встречается также в сказках и легендах (двенадцатиглавый змей, двенадцать братьев-разбойников), что тоже свидетельствует о древнем происхождении двенадцатеричной системы счисления. Посмотрим, как будут изображаться числа в этой системе. Во-первых, в ней должно быть двенадцать цифр. Значит, к нашим десяти цифрам надо прибавить еще две, например А для обозначения десяти и Б — для одиннадцати. Во-вторых, запись чисел в ней будет короче, чем в нашей системе, а таблица умножения длиннее. Число 12 запишется как 1012 (снова ставим значок 12 для того, чтобы знать, в какой системе сделана запись), число 13 — как 1112, число 35=2•12+11 — как 2Б12, а число 133 = 11•12+ +1 — как Б112, т. е. оно станет двузначным. Приведем таблицу умножения чисел, записанных в этой системе1: Некоторые ученые считали, что такая система была бы удобнее, чем десятичная, так как число 12 имеет больше делителей, чем число 10. На самом же деле это обстоятельство не дает больших преимуществ.
Ниже мы расскажем о том, что когда-то существовали нумерации с основанием 20 и даже 60. А теперь сделаем некоторые общие выводы: 1) всякое число, отличное от единицы, может служить основанием позиционной системы счисления; 2) в системе счисления должно быть столько цифр, сколько единиц содержится в основании системы. Несмотря на то что принципиально все позиционные системы счисления равноправны, в разных случаях удобнее пользоваться разными системами. Например, как мы уже говорили, при счете на электронных вычислительных машинах в основном пользуются двоичной системой. Сейчас мы приведем несколько задач, для решения которых удобнее будет воспользоваться не десятичной системой счисления, а другими. 1 При записи этой таблицы мы опускаем значок 12. Но не надо забывать, что все числа записаны в двенадцатеричной системе.
|
ПОИСК
Block title
|